代数学理论及其应用

代数学是一门重要的数学分支，它主要研究各种代数系统的结构与性质。主要研究兴趣在群论、代数表示论和代数编码等领域。群论是一个古老的学科，它主要研究群的结构与分类，并通过研究图的自同构群分析图的性质，定出图的结构，进而将其用于通讯理论、软件工程、网络的优化设计等；代数表示论是二十世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支, 它的基本内容是研究环与代数的结构，并且在物理学、化学、天文、建筑、信息与通信等自然科学与技术领域里都有广泛的应用；代数编码理论是由数字通讯的可靠性要求所建立和不断发展的数学理论，它主要利用代数工具构作具有良好特性的纠错码。

几何与拓扑

几何学是数学的一个古老分支，而微分几何学则是上世纪以来得到迅猛发展又对数学的其它分支及其理论产生重大影响的分支学科。它包括极小子流形理论，黎曼几何学，Mobius几何以及流形上的分析等。经典微分几何就是三维欧氏空间中的曲面论和曲线论，它对于齿轮设计和计算机的图形设计等都有具体的运用。主要研究兴趣包括Mobius几何和流形上的分析，主要内容为指标定理，尤其是殆复流形上椭圆算子的局部指标定理的研究。 拓扑学是数学中的一个重要而基础的分支，起初它属几何学的一支，研究图形在连续变形下保持不变的性质。现已发展为研究连续性现象的数学分支。由于连续在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。如一般拓扑学与代数拓扑学。后来相继出现了微分拓扑学与几何拓扑学等分支。 拓扑学与微分几何有着血缘的关系，它们在不同的层次上研究流形的性质。例如，陈省身示性类不但对微分几何学影响深远，对拓扑学也十分重要。拓扑学对现代分析学的发展起了巨大的推动作用。例如，勒雷和绍德尔把布劳威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿赫空间形成了拓扑度理论。这些理论成为研究非线性偏微分方程的标准工具。拓扑学的需要大大刺激了抽象代数的发展，并形成两个新的代数分支，同调代数与代数K理论。在经济学方面，冯.诺依曼首先把不动点定理用来证明均衡性的存在性。

函数论与非线性分析

函数论作为传统的数学分支，主要研究函数空间及其性质，是分析数学的理论基础。复变的情形涉及单复变数与多复变数的解析函数论；实变的情形涉及测度论、抽象积分。函数逼近论与调和分析是现代数学中可以归入函数论的两个重要的活跃的研究方向。调和分析包括欧氏空间及环群上的傅立叶分析、 空间与索伯列夫空间等上的奇异积分算子的研究、新近发展起来的小波分析理论。从广义上讲，调和分析还包括李群与黎曼对称空间上的抽象傅立叶分析，与李群的表示理论有重要的交叉。函数逼近论包括线性与非线性逼近方法的研究、连续模与 －泛函的性质、最佳逼近阶的估计、最佳逼近阶与函数结构性质的关系的研究、最佳逼近的精确常数的计算、宽度问题、最优机械求积、插值与样条等。与计算数学及计算机的数学理论有重要的交叉。 非线性分析是目前国际上研究十分活跃的交叉学科之一，主要研究数学与数学物理中的非线性问题。由于它在生命科学，自然科学，地质科学，计算机科学等领域的广泛的应用，可以预见它将在国民经济主战场起到重要作用。其主要内容包括巴拿赫空间的分析学，拓扑方法与变分方法，莫尔斯理论，系统的混沌性，分形结构等。